Question

已知函數f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（Ⅰ）若f（x）在x∈[-

1

2

，1）上的最大值為

3

8

，求實數b的值；
（Ⅱ）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：轉化思想,導數的綜合應用

分析：（1）求解導數，利用導函數求極值點，單調區(qū)間，判斷最值，求出b 的值
（2）g（x）≥-x²+（a+2）x轉化為另一個函數的最值問題求解，用好分離參數的方法．

解答： 解：（1）函數f（x）=-x³+x²+b，函數f（x）=-3x²+2x，f（x）=0得x=0，x=

2

3

，
f（x）＞0，0＜x＜

2

3

； f（x）＜0，x＜0或＞

2

3

可知：f（x）在x∈[-

1

2

，1）有[-

1

2

，0），（

2

3

，1）是減區(qū)間，（0，

2

3

）是增區(qū)間
f（-

1

2

）=

3

8

+b，f（

2

3

）=

4

27

+b，可以判斷）

3

8

+b=

3

8

，b=0
所以實數b的值為0
（2）任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x，g（x）=alnx．
a≤

-x2+2x

lnx-x

，設T（x）=

-x2+2x

lnx-x

，x∈[1，e]
T′（X）=

(x-1)(x+2-lnx)

(lnx-x)2

，x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
從而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上為增函數．
所以t（x）_min=t（1）=-1，所以a≤-1

點評：本題考查了導數在最值中的應用，用分離參數，構造函數，解決恒成立問題中參變量的范圍問題．