Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=c-

1

an

．
（Ⅰ）設(shè)a=c=2，b_n=

1

an-1

，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)a=1，求證：{a_n}是遞增數(shù)列的充分必要條件是c＞2．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,簡易邏輯

分析：（Ⅰ）代入向b_n化簡，可證明為等差數(shù)列；（Ⅱ）要分開證明必要性與充分性．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=c=2，
∴a_n+1-1=1-

1

an

=

an-1

an

；
∴

1

an+1-1

=

1

an-1

+1，
即：b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{b_n}是公差為1的等差數(shù)列，
又b₁=1，
∴b_n=n．
（Ⅱ）證明：“必要性”
∵數(shù)列{a_n}遞增，
∴a₂＞a₁，
∵a₁=1，a₂=c-1，∴c-1＞1，
∴c＞2．
“充分性”
①n=1時，顯然成立；
②假設(shè)a_k+1＞a_k＞0（k≥1，k∈N）成立，則

1

ak+1

＜

1

ak

，
那么a_k+2=c-

1

ak+1

＞c-

1

ak

=a_k+1
綜合①②得a_n+1＞a_n＞0（n∈N^*）成立．
即c＞2時，數(shù)列{a_n}遞增，
綜上所述，{a_n}是遞增數(shù)列的充分必要條件是c＞2．

點評：本題考查了等差等比數(shù)列，同時考查了數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題．