Question

3．設(shè)由不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-2y≥0\\ x+3y≥0\end{array}\right.$所確定的平面區(qū)域?yàn)棣福�若�?dòng)點(diǎn)P（x，y）在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為$\frac{1}{8}$，若動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在平面區(qū)域Ω內(nèi)，且滿足0≤x≤2，則函數(shù)f（x，y）=x-y的最大值為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 作出平面區(qū)域，計(jì)算區(qū)域邊界的夾角，計(jì)算概率；移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)解．

解答 解：作出平面區(qū)域如圖所示：由直線的斜率可知tan∠AOX=$\frac{1}{2}$，tan∠BOX=$\frac{1}{3}$．
∴tan∠AOB=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1．∴∠AOB=$\frac{π}{4}$．
∴當(dāng)P在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為$\frac{\frac{π}{4}}{2π}$=$\frac{1}{8}$．
令z=x-y，則y=x-z，∴當(dāng)z最大時(shí)，直線y=x-z在y軸上的截距最�。�
由圖可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最小，即z最大．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+3y=0}\end{array}\right.$得x=2，y=-$\frac{2}{3}$．∴z的最大值為2-（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{3}$．
故答案為$\frac{1}{8}$，$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，幾何概型的概率計(jì)算，作出平面區(qū)域是解題關(guān)鍵．