Question

【題目】已知橢圓G：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)與l不與坐標(biāo)軸平行，若AB的中點(diǎn)為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)ON交直線(xiàn)x＝3于點(diǎn)M.

（1）求證：MF⊥l；

（2）求的最大值，

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由題意的方程可得右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線(xiàn)l的方程與橢圓聯(lián)立可得兩根之和，求出AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線(xiàn)ON的斜率，求出直線(xiàn)ON的方程，令x＝3可得M的縱坐標(biāo)，即求出M的坐標(biāo)，求出直線(xiàn)MF的斜率可證得與直線(xiàn)l的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以可證得MF垂直直線(xiàn)l；

（2）由（1）MF，AB的值，求出兩者之比，由均值不等式可得的最大值.

（1）由橢圓的方程開(kāi)發(fā)右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)（2，0），

有題意設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x＝my+2，設(shè)A（x1，y2），B（x2，y2），

整理可得（3+m2）y2+4my﹣2＝0，y1+y2，y1y2，

所以AB的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)yN，代入直線(xiàn)AB的方程可得N的橫坐標(biāo)xN2，即N（，），

所以kON，

所以直線(xiàn)ON的方程為：yx，令x＝3，所以y＝﹣m，

即M（3，﹣m），

所以kMFm，而，所以kMF＝﹣1，

所以MF⊥l；

（2）由（1）可得|MF|，

|AB||y1﹣y2|，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即m＝±1時(shí)取等號(hào).

所以的最大值為.