Question

15．若點(diǎn)P是方程$\sqrt{{{（x-5）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（x+5）}^2}+{y^2}}=6$所表示的曲線上的點(diǎn)，同時(shí)P又是直線y=4上的點(diǎn)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$-3\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與雙曲線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡是以F₁（-5，0）、F₂（5，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支．由題中數(shù)據(jù)求出雙曲線的方程，再將y=4代入解出x的值，即可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），F(xiàn)₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
可得點(diǎn)P滿足|PF₂|-|PF₁|=6，可得點(diǎn)P的軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線的左支．
又∵c=5，2a=6，得a=3，∴b²=c²-a²=25-9=16，
因此該雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1（x＜0），
若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4，則將y=4代入雙曲線方程解得x=-3$\sqrt{2}$（正值舍去）．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$-3\sqrt{2}$．
故答案為：$-3\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出動(dòng)點(diǎn)P滿足的等式，求當(dāng)P的縱坐標(biāo)為4時(shí)P的橫坐標(biāo)．著重考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于中檔題．