Question

11．討論關(guān)于x的方程e^x-kx=0解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 方程e^x-kx=0解的個(gè)數(shù)，即為k=$\frac{{e}^{x}}{x}$的根的個(gè)數(shù)，令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，畫(huà)出f（x）的圖象，討論k，由直線y=k和f（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷解的個(gè)數(shù)．

解答 解：方程e^x-kx=0解的個(gè)數(shù)，即為
k=$\frac{{e}^{x}}{x}$的根的個(gè)數(shù)，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＜0，或0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x=1處取得極小值e．
圖象如右圖：
當(dāng)k＜0或k=e時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k僅有一個(gè)交點(diǎn)，方程解的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)k＞e時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，方程解的個(gè)數(shù)為2；
當(dāng)0≤k＜e時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k沒(méi)有交點(diǎn)，方程解的個(gè)數(shù)為0．
綜上可得，當(dāng)k＜0或k=e時(shí)，方程的解的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)k＞e時(shí)，方程解的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)0≤k＜e時(shí)，方程解的個(gè)數(shù)為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于中檔題．