Question

15．動(dòng)直線(xiàn)l：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-6）若直線(xiàn)l與不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{2x+y≤2}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是1＜λ≤$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 利用分離參數(shù)法，解方程組即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可．

解答 解：由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得：λ（3x-y-6）+（x+y+6）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x+y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-6}\end{array}\right.$，即直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P（0，-6）．
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
當(dāng)1-λ=0時(shí)，λ=1，此時(shí)直線(xiàn)方程為x=0，滿(mǎn)足直線(xiàn)和平面區(qū)域有公共點(diǎn)，
當(dāng)λ≠1時(shí)，直線(xiàn)方程為y=$\frac{3λ+1}{λ-1}$x+$\frac{6-6λ}{λ-1}$
則滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率k＞0，且點(diǎn)A（1，0）在直線(xiàn)的下方或在直線(xiàn)上，
即$\frac{3λ+1}{λ-1}$＞0且y≤$\frac{3λ+1}{λ-1}$x+$\frac{6-6λ}{λ-1}$，
即$\frac{3λ+1}{λ-1}$＞0①且0≤$\frac{3λ+1}{λ-1}$×1+$\frac{6-6λ}{λ-1}$=$\frac{7-3λ}{λ-1}$，②
即由①得λ＞1或λ＜$-\frac{1}{3}$，
由②得1≤λ≤$\frac{7}{3}$，
由①②得1≤λ≤$\frac{7}{3}$，
故答案為：（0，-6）；1≤λ≤$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)以及線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，建立方程組關(guān)系以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．