Question

3．在平面直角坐標系中，設點P（x，y），定義[OP]=|x|+|y|，其中O為坐標原點．對于下列結論：
（1）符合[OP]=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；
（2）設點P是直線l：$\sqrt{3}$x+2y-2=0上任意一點，則[OP]_min=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）設點P是直線：y=kx+1（k∈R）上任意一點，則“使得[OP]最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是“k=±1”；
（4）設點P是橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1上任意一點，則[OP]_max=$\sqrt{5}$．
其中正確的結論序號為（1）、（2）、（3）、（4）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義由[OP]=|x|+|y|=1，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關系式，畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象可知點P的軌跡圍成的圖形為邊長是$\sqrt{2}$的正方形，求出正方形的面積即可；
（2）把[OP]=|x|+|y|轉化為僅含x的表達式，求出x的范圍，利用一次函數(shù)的單調性即可得到[OP]的最小值；（3）根據(jù)|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+1代入即可得到當[OP]最小的點P有無數(shù)個時，k等于1或-1；而k等于1或-1推出[OP]最小的點P有無數(shù)個，得到k=±1是“使[OP]最小的點P有無數(shù)個”的充要條件；
（4）把P的坐標用參數(shù)表示，然后利用三角函數(shù)的化積求得[OP]=|x|+|y|的最大值說明命題正確．

解答 解：（1）由[OP]=1，根據(jù)新定義得：|x|+|y|=1，
畫出圖象如圖所示：

根據(jù)圖形得到：四邊形ABCD為邊長是$\sqrt{2}$的正方形，面積等于2，（1）正確；
（2）∵點P是直線：$\sqrt{3}$x+2y-2=0上任意一點，則y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+1，
[OP]=|x|+|y|=x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+1（0≤x≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$），當x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$時[OP]_min=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，（2）正確；
（3）∵|x|+|y|≥|x+y|=|（k+1）x+1|，當k=-1時，|x|+|y|≥|1|=1，滿足題意；
而|x|+|y|≥|x-y|=|（k-1）x-1|，當k=1時，|x|+|y|≥|-1|=1，滿足題意．
∴“使[OP]最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是“k=±1”，（3）正確；
（4）∵點P是橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1上任意一點，則可設$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，
[OP]=|x|+|y|=2cosθ+sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+φ），（θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，tanφ=2），
∴[OP]_max=$\sqrt{5}$，（4）正確．
則正確的結論有：（1）、（2）、（3）、（4）．
故答案為：（1）、（2）、（3）、（4）．

點評 此題考查學生理解及運用新定義的能力，考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想，關鍵是對題意的理解，是中檔題．