Question

已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．下列關于f（x）的命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

①函數f（x）的極大值點為0，4；
②函數f（x）在[0，2]上是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．
其中正確命題的個數有

 

 個．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：本題考查利導函數判斷函數單調性和極值的問題，先利用導函數圖象求函數極值和單調性，然后判斷正誤．

解答： 解：①導函數圖象在x=0和4處導數為0，且導數符號由正到負，函數f（x）先增后減，函數f（x）的極大值點為0，4，正確；
②導函數圖象在x∈[0，4]處恒在x軸下側，f′（x）≤0，函數f（x）在[0，2]上是減函數，正確；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為5，而不是4，錯誤；
④由導函數圖象得，函數在x=0，2，4處取得極值2，f（2），2，而當x取端點值f（-1）=f（5）=1，
則當f（2）＜1時，函數的值域為[f（2），2]，結合函數性質，當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點；
則當f（2）≥1時，函數的值域為[1，2]，結合函數性質，當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有2個零點；
綜上當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有2或4個零點，④錯誤．
故答案為：2．

點評：難點是④y=f（x）-a中零點個數轉化為方程f（x）=a的解的個數，可數形結合，畫圖求解．