Question

15．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，且滿足f（x+2）=f（-x），若當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-1，則f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$10）的值為$\frac{10}{27}$．

Answer 1

分析 本題函數(shù)解析式只知道一部分，而要求的函數(shù)值的自變量不在此區(qū)間上，由題設(shè)條件知本題中所給的函數(shù)具有對稱性函數(shù)，故可以利用這一性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到區(qū)間[0，1）上求解．

解答 解：由題意定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+2）=f（-x），
∴函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，
當x∈[0，1]時，f（x）=3^x-1，log${\;}_{\frac{1}{3}}$10=-log₃10∈（-3，-2）
由此f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$10）=f（2-log₃10）=f（log₃$\frac{9}{10}$）=f（-log₃$\frac{9}{10}$）=${3}^{-lo{g}_{3}\frac{9}{10}-1}$=$\frac{1}{3}×\frac{10}{9}$=$\frac{10}{27}$．
故答案為：$\frac{10}{27}$

點評 本題考點抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值求法，利用函數(shù)的性質(zhì)通過轉(zhuǎn)化來求函數(shù)的值，是函數(shù)性質(zhì)綜合運用的一道好題．對于本題中恒等式的意義要好好挖掘，做題時要盡可能的從這樣的等式中挖掘出信息．