Question

若函數(shù)f（x）=sin（

2

π

x+α）（0＜α＜2π）是奇函數(shù)，則方程f（x）=lgx解的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)f（x）=sin（

2

π

x+α）（0＜α＜2π）是奇函數(shù)可求得f（x）=-sin

2

π

x，再設(shè)g（x）=lgx；從而作圖求解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sin（

2

π

x+α）（0＜α＜2π）是奇函數(shù)，
∴f（0）=sinα=0，
∵0＜α＜2π，
∴α=π；
故f（x）=-sin

2

π

x，設(shè)g（x）=lgx；
在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出函數(shù)f（x）=-sin

2

π

x與g（x）=lgx的圖象，

易知當(dāng)x=

3π2

4

時，f（

3π2

4

）=1，g（

3π2

4

）＜1，
且當(dāng)x＞

7π2

4

時，g（x）＞1；
故函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個交點，
即方程f（x）=lgx有三個根．
故答案為：3．

點評：本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．