Question

3．已知命題：
①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則方差也變?yōu)樵瓉?lái)的2倍；
②在△ABC中，若A＞B，則sinA＜sinB；
③在正三棱錐S-ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率是$\frac{7}{8}$；
④若對(duì)于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[{\frac{1}{3}，+∞}）$．
以上命題中正確的是③④（填寫所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 ①利用方差的性質(zhì)可得：方差變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，即可判斷出正誤；
②在△ABC中，若A＞B，則a＞b，由正弦定理可得sinA＞sinB，即可判斷出正誤；
③如圖所示，O是正△ABC的中心，分別取棱SA，SB，SC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則在△DEF及其內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則V_P-ABC=$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$，因此使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率P=$1-\frac{{V}_{S-DEF}}{{V}_{S-ABC}}$，即可判斷出正誤；
④若對(duì)于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，則$a≥-\frac{{n}^{2}-4n+3}{n+1}$=-$（n+1+\frac{8}{n+1}-6）$，令f（x）=$x+\frac{8}{x}$（x≥2），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：①將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則方差變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，因此①不正確；
②在△ABC中，若A＞B，則a＞b，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，∴sinA＞sinB，因此②不正確；
③如圖所示，O是正△ABC的中心，分別取棱SA，SB，SC的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則在△DEF及其內(nèi)部任取一點(diǎn)P，則V_P-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×$\frac{1}{2}SO$=$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$，因此使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率P=$1-\frac{{V}_{S-DEF}}{{V}_{S-ABC}}$=$\frac{7}{8}$，即③正確；
④若對(duì)于任意的n∈N^*，n²+（a-4）n+3+a≥0恒成立，則$a≥-\frac{{n}^{2}-4n+3}{n+1}$=-$（n+1+\frac{8}{n+1}-6）$，
令f（x）=$x+\frac{8}{x}$（x≥2），f′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-8}{{x}^{2}}$，當(dāng)x≥3時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f（3）=$3+\frac{8}{3}$=$5+\frac{2}{3}$，f（4）=6，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=6，
∴a≥-（$5+\frac{2}{3}$-6）=$\frac{1}{3}$，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{3}，+∞）$，因此④正確．
以上命題中正確的是 ③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、方差的性質(zhì)、正弦定理、三棱錐的體積、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．