Question

17．已知函數f（x）=a|x-b|+1，其中a，b∈R．
（1）若a＜0，b=1，求函數f（x）的所有零點之和；
（2）記函數g（x）=x²-f（x）．
       ①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x-1）；
       ②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值為0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）的單調性和對稱軸，得出零點個數和零點之和；
（2）①根據g（x）的奇偶性和單調性列出不等式得出x的范圍；
②討論a的范圍，判斷g（x）的單調性，根據最大值驗證或列出不等式得出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=a|x-1|+1=$\left\{\begin{array}{l}{a-ax+1，x≤1}\\{ax-a+1，x＞1}\end{array}\right.$，
∵a＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
又f（1）=1，
∴f（x）在（-∞，1）和（1，+∞）上各有1個零點，
∵f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴f（x）的所有零點之和為2．
（2）①b=0時，f（x）=a|x|+1，
∴g（x）=x²-a|x|-1，
∴g（-x）=g（x），即g（x）是偶函數，
∵a＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，
∵g（2x+1）≤g（x-1），
∴|2x+1|≤|x-1|，解得-2≤x≤0．
原不等式的解集為[-2，0]；
②b=1時，g（x）=x²-a|x-1|-1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，x≤1}\\{{x}^{2}-ax+a-1，x＞1}\end{array}\right.$，
若a=0，則g（x）=x²-1，則g（x）在[0，2]上單調遞增，
∴g（x）在[0，2]上的最大值為g（2）=3，不符合題意；
若a＞0，則g（x）在[0，1]上單調遞增，g（1）=0，
當x＞1時，g（x）的對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，
∵g（x）在[1，2]上最大值為0，且g（1）=0，
∴$\frac{a}{2}$≥$\frac{3}{2}$，即a≥3．
若a＜0，則g（x）在[1，2]上單調遞增，
∴g（x）在[1，2]上的最大值為g（2）＞g（1）=0，不符合題意．
綜上，a≥3．

點評 本題考查了函數零點與單調性，奇偶性的關系，函數單調性的判斷與最值計算，屬于中檔題．