Question

13．點(diǎn)P是在平面直角坐標(biāo)系中不在x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足：過(guò)點(diǎn)P可作拋物線(xiàn)x²=y的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），求證：切線(xiàn)PA的方程為y=2x₁x-x₁²；
（Ⅱ）若直線(xiàn)AB交y軸于R，OP⊥AB于Q點(diǎn)，求證：R是定點(diǎn)并求$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)以A（x₁，x₁²）為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y-x₁²=k（x-x₁），聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用判別式為0，求得斜率k，即可得證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，x₁x₂），設(shè)直線(xiàn)AB方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，求得P的坐標(biāo)，由垂直的條件，可得R的坐標(biāo)，進(jìn)而得到|PQ|，|QR|，運(yùn)用基本不等式即可得到最小值．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)以A（x₁，x₁²）為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y-x₁²=k（x-x₁），
聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，可得x²-kx+kx₁-x₁²=0，
由△=k²-4kx₁+4x₁²=（k-2x₁）²=0，
得k=2x₁，所以切線(xiàn)PA：y=2x₁x-x₁²；
（Ⅱ）設(shè)B（x₂，x₂²），
由（Ⅰ）可得切線(xiàn)PB：y=2x₂x-x₂²，可得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，x₁x₂），
設(shè)AB：y=kx+m與y=x²聯(lián)立得x²-kx-m=0，
即P（$\frac{k}{2}$，-m），由題意可得k•k_OP=k•$\frac{-m}{\frac{k}{2}}$=-2m=-1，
解得m=$\frac{1}{2}$，即R（0，$\frac{1}{2}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$可得Q（-$\frac{k}{2（{k}^{2}+1）}$，$\frac{1}{2（{k}^{2}+1）}$），
|PQ|=$\frac{|2+{k}^{2}|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|QR|=$\sqrt{|OR{|}^{2}-|OQ{|}^{2}}$=$\frac{|k|}{2\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以$\frac{|PQ|}{|QR|}$=$\frac{{k}^{2}+2}{|k|}$=|k|+$\frac{2}{|k|}$≥2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=±$\sqrt{2}$時(shí)，$\frac{|PQ|}{|QR|}$的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線(xiàn)的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線(xiàn)方程，運(yùn)用判別式為0，同時(shí)考查直線(xiàn)垂直的條件，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．