Question

14．如圖：正三棱錐ABCD中，E、F分別在棱AB、AD上，AE：EB=AF：FD=1：2，且$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{BF}$=0，則∠BAC的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)正三棱錐ABCD中，側(cè)棱長相等，各側(cè)棱所成的角相等，結(jié)合$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{BF}$=0，利用向量的線性表示，即可求出∠BAC的余弦值．

解答 解：正三棱錐ABCD中，設(shè)∠BAC=θ，且側(cè)棱長相等；
∵AE：EB=AF：FD=1：2，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$；
又$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
∴（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AE}$）•（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AF}$）=0，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0，
∴|$\overrightarrow{CA}$|×|$\overrightarrow{BA}$|cosθ+|$\overrightarrow{CA}$|×$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|cos（π-θ）-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{BA}$|+$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|×$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{AD}$|cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{3}{7}$，
即∠BAC的余弦值為$\frac{3}{7}$．
故選：C．

點評 本題考查了空間向量的線性表示與數(shù)量積的運算問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．