Question

11．若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而y=$\frac{f（x）}{x}$在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”．
（1）請分別判斷f（x）=x+4，g（x）=x²+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函數(shù)”，并簡要說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）=x²+（m-$\frac{1}{2}$）x+b（m，b是常數(shù)）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，請求出m及b應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)“弱增函數(shù)”的定義逐個判斷即可；
（2）由于h（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，所以h（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，$\frac{h（x）}{x}$在（0，1]上單調(diào)遞減，由此可求出m及b滿足的條件．

解答 解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=1+$\frac{4}{x}$在（1，2）上是減函數(shù)，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函數(shù)”；
g（x）=x²+4x+2在（1，2）上是增函數(shù)，但$\frac{g（x）}{x}$=x+4+$\frac{2}{x}$在（1，2）上不單調(diào)，所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函數(shù)”；
（2）由題意，h（x）=x²+（m-$\frac{1}{2}$）x+b（m，b是常數(shù)）在（0，1]上是增函數(shù)，$\frac{h（x）}{x}$=x+$\frac{x}$+（m-$\frac{1}{2}$）在（0，1]上是減函數(shù)，∴$-\frac{m-0.5}{2}$≤0，b≥1，
∴m≥0.5，b≥1．

點(diǎn)評 本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)用所學(xué)知識分析解決新問題的能力．