Question

7．（1）已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=5，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線(xiàn)，求當(dāng)k為何值時(shí)，向量$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$互相垂直？
（2）已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$，求$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合向量數(shù)量積為0列式求得k值；
（2）由已知求出$|\overrightarrow{|}^{2}$，進(jìn)一步求得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|，|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$，然后代入數(shù)量積求夾角公式得答案．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=5，且$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$互相垂直，
得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$）=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-{k}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}=0$，
即${k}^{2}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{|}^{2}}=\frac{9}{25}$，∴k=$±\frac{3}{5}$；   
（2）由|$\overrightarrow{a}$|=1，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$，
得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{|}^{2}=\frac{1}{2}$，即$|\overrightarrow{|}^{2}=\frac{1}{2}$．
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{5}{2}$．
則$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\frac{\sqrt{2}}{2}，|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
設(shè)$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．