Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為C（-1，0），D（1，0），曲線E上的動(dòng)點(diǎn)P滿足$|{PC}|+|{PD}|=2\sqrt{3}$．又曲線E上的點(diǎn)A、B滿足OA⊥OB．
（1）求曲線E的方程；
（2）若點(diǎn)A在第一象限，且$|{OA}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{OB}|$，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）求證：原點(diǎn)到直線AB的距離為定值．

Answer 1

分析 （1）由|CD|=2，$|{PC}|+|{PD}|=2\sqrt{3}＞2$知，曲線E是以C、D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸$2\sqrt{3}$的橢圓，即可求曲線E的方程；
（2）設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0），則直線OB的方程為$y=-\frac{1}{k}x（k＞0）$，與橢圓方程聯(lián)立，由$|{OA}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{OB}|$知4|OA|²=3|OB|²，即可求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）分類討論，設(shè)直線AB的方程x=my+b，與橢圓方程聯(lián)立，求出原點(diǎn)到直線AB的距離，即可證明原點(diǎn)到直線AB的距離為定值．

解答 （1）解：由|CD|=2，$|{PC}|+|{PD}|=2\sqrt{3}＞2$知，曲線E是以C、D為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸$2\sqrt{3}$的橢圓，（1分）
設(shè)其方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則有$a=\sqrt{3}，c=1$，
∴曲線E的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$（3分）
（2）解：設(shè)直線OA的方程為y=kx（k＞0），則直線OB的方程為$y=-\frac{1}{k}x（k＞0）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{y=kx}\end{array}}\right.$得2x²+3k²x²=6，解得$x_1^2=\frac{6}{{2+3{k^2}}}$（4分）
同理，由則$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}}\right.$解得$x_2^2=\frac{{6{k^2}}}{{2{k^2}+3}}$．（5分）
由$|{OA}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{OB}|$知4|OA|²=3|OB|²，
即$4（1+{k^2}）•\frac{6}{{2+3{k^2}}}=3（1+\frac{1}{k^2}）•\frac{{6{k^2}}}{{2{k^2}+3}}$（6分）
解得k²=6，因點(diǎn)A在第一象限，故$k=\sqrt{6}$，（7分）
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（\frac{{\sqrt{30}}}{10}，\frac{{3\sqrt{5}}}{5}）$（8分）
（3）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線AB平行于坐標(biāo)軸時(shí)，由OA⊥OB知A、B兩點(diǎn)之一為y=±x與橢圓的交點(diǎn)，
由$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{y=±x}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=±\frac{{\sqrt{30}}}{5}}\\{y=±\frac{{\sqrt{30}}}{5}}\end{array}}\right.$此時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為$d=\frac{{\sqrt{30}}}{5}$（10分）
當(dāng)直線AB不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線AB的方程x=my+b，
由$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{x=my+b}\end{array}}\right.$得（2m²+3）y²+4bmy+2b²-6=0（12分）
由x₁x₂+y₁y₂=0得（my₁+b）（my₂+b）+y₁y₂=0
即$（{m^2}+1）{y_1}{y_2}+mb（{y_1}+{y_2}）+{b^2}=0$
因  ${y_1}+{y_2}=-\frac{4bm}{{2{m^2}+3}}，{y_1}{y_2}=\frac{{2{b^2}-6}}{{2{m^2}+3}}$（14分）
代入得  $（{m^2}+1）\frac{{2{b^2}-6}}{{2{m^2}+3}}-\frac{{4{b^2}{m^2}}}{{2{m^2}+3}}+{b^2}=0$即5b²=6（m²+1）（15分）
原點(diǎn)到直線AB的距離$d=\frac{|b|}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=\sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{{\sqrt{30}}}{5}$（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．