Question

12．已知點P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得焦點三角形為直角三角形，再由tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，得到|PF₁|=2|PF₂|，結(jié)合橢圓定義求出|PF₁|，|PF₂|，代入勾股定理得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可知△PF₁F₂為直角三角形，
又tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{2}$，可得|PF₁|=2|PF₂|，
聯(lián)立|PF₁|+|PF₂|=2a，解得：|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2}{3}a$．
由$|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}$，得$\frac{16}{9}{a}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}=4{c}^{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{9}$．
∴$e=\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓定義的應用，是中檔題．