Question

17．在直角坐標(biāo)系中，定義P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若點(diǎn)A（-2，4），M（x，y）為直線x-y+8=0上的動點(diǎn)
（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式d（A，M）≤4；
（Ⅱ）求d（A，M）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)新定義建立關(guān)系，利用絕對值不等式的性質(zhì)，去絕對值求解即可；
（Ⅱ）利用絕對值不等式的性質(zhì)，求解d（A，M）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
∴d（A，M）≤4；即d（A，M）=|x+2|+|y-4|≤4，
∵M(jìn)（x，y）為直線x-y+8=0上的動點(diǎn)，
∴x+8=y．
∴d（A，M）=|x+2|+|x+4|≤4
去掉絕對值：$\left\{\begin{array}{l}{x≤-4}\\{-2x-6≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-4＜x＜-2}\\{-x-2+x+4≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥-2}\\{2x+6≤4}\end{array}\right.$
解得：-5≤x≤-4或-4＜x＜-2或-2≤x≤-1，
∴不等式的解集為{x|-5≤x≤-1}； 
（Ⅱ）d（A，M）的最小值．即d（A，M）=|x+2|+|y+4|≥|（x+2）-（x+4）|=2
當(dāng)且僅當(dāng)（x+2）（x+4）≤0，即-4≤x≤-2時取等號．
故當(dāng)-4≤x≤-2時，d（A，M）的最小值為2．

點(diǎn)評 本題考查了新定義的運(yùn)用和絕對值不等式的解法．屬于中檔題．