Question

12．已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁，F(xiàn)₂在坐標軸上，離心率為$\sqrt{2}$．且過點（2，-$\sqrt{3}$）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若點M（m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在雙曲線上，求證：MF₁⊥MF₂．

Answer 1

分析 （1）設雙曲線方程為x²-y²=λ，點代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程；
（2）先求出 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的解析式，把M（m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入雙曲線，可得出$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$═0，即可證明．

解答 解：（1）∵離心率e=$\sqrt{2}$，
∴設所求雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0），
則由點（2，-$\sqrt{3}$）在雙曲線上，
知λ=4-（-$\sqrt{3}$）²=1，
∴雙曲線方程為x²-y²=1；
（2）證明：若點M（m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在雙曲線上，
則m²-$\frac{1}{2}$=1∴m²=$\frac{3}{2}$，
由雙曲線x²-y²=1知F₁（$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（-$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（$\sqrt{2}$-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-$\sqrt{2}$-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=m²-2+$\frac{1}{2}$=0，
故MF₁⊥MF₂．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用．解答的關鍵是對雙曲線標準方程的理解和向量運算的應用．