Question

3．在半徑為R的圓形鐵皮上截取一塊矩形，并將其卷成一個圓柱，求圓柱體積的最大值．

Answer 1

分析 設矩形一邊為a，用a表示出矩形的另一邊，得出圓柱的體積關于a的函數，利用導數與函數最值的關系求出函數的最大值．

解答 解：設矩形的一邊長為a，則另一邊長為$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$．其中0＜a＜2R．
∴圓柱的底面半徑為r=$\frac{a}{2π}$，高h=$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$．
∴圓柱的體積V（a）=π•$\frac{{a}^{2}}{4{π}^{2}}$•$\sqrt{{R}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{-{a}^{6}+{a}^{4}{R}^{2}}}{4π}$．
令f（a）=-a⁶+a⁴R²，則f′（a）=0，得-6a⁵+4R²a³=0，解得a=$\frac{2R}{\sqrt{6}}$．
當0＜a＜$\frac{2R}{\sqrt{6}}$時，f′（a）＞0，當$\frac{2R}{\sqrt{6}}$＜a＜2R時，f′（a）＜0，
∴當a=$\frac{2R}{\sqrt{6}}$時，f（a）取得最大值f（$\frac{2R}{\sqrt{6}}$）=$\frac{11{R}^{6}}{18}$．
∴V（a）的最大值為$\frac{\sqrt{\frac{11{R}^{6}}{18}}}{4π}$=$\frac{\sqrt{22}{R}^{3}}{24π}$．

點評 本題考查了圓柱的結構特征，圓柱的體積公式，導數與函數的最值，屬于中檔題．