Question

20．在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）中，c²=a²+b²，直線x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$與雙曲線的兩條漸近線交于A，B兩點，且左焦點在以AB為直徑的圓內(nèi)，則該雙曲線的離心率的取值范圍（　�。�

• A． （0，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出漸近線方程及準線方程，求得交點A，B的坐標，再利用圓內(nèi)的點到圓心距離小于半徑，列出不等式，即可求出離心率的范圍．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），則漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，左準線方程為x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$
∵雙曲線的左準線與它的兩條漸近線交于A，B兩點，∴A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$）
∵左焦點為在以AB為直徑的圓內(nèi)，
∴-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c＜$\frac{ab}{c}$，
∴b＜a
∴c²＜2a²
∴1＜e＜$\sqrt{2}$
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的準線、漸近線方程，考查點圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．