Question

11．已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x²-2（a-5）x+b+4與函數(shù)g（x）=x²+2（a-5）x-b+4均沒有零點，若ak-b=15，則實數(shù)k的取值范圍為（2，5）．

Answer 1

分析 由題意可得△₁=4（a-5）²-4（b+4）＜0，△₂=4（a-5）²-4（-b+4）＜0，從而化為線性規(guī)劃問題，作出平面區(qū)域，再化簡ak-b=15為k=$\frac{b+15}{a}$，從而利用幾何意義求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-2（a-5）x+b+4與函數(shù)g（x）=x²+2（a-5）x-b+4均沒有零點，
∴方程x²-2（a-5）x+b+4=0與x²+2（a-5）x-b+4=0沒有根，
∴△₁=4（a-5）²-4（b+4）＜0，
△₂=4（a-5）²-4（-b+4）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b＞（a-5）^{2}-4}\\{b＜4-（a-5）^{2}}\end{array}\right.$，
作不等式表示的平面區(qū)域如下，
，
結合圖象可知a≠0，
故化簡ak-b=15得k=$\frac{b+15}{a}$，
其幾何意義為點（a，b）與點（0，-15）的連線的斜率，
作圖如下，
，
結合圖象可知，
A（0，-15），B（3，0），
故${k}_{{l}_{2}}$=$\frac{0+15}{3-0}$=5，
令y=（x-5）²-4，y′=2（x-5），
故2（x-5）=$\frac{（x-5）^{2}-4+15}{x}$，
解得，x=6；
故${k}_{{l}_{1}}$=2•（6-5）=2，
故結合圖象可知，
2＜k＜5；
故答案為：（2，5）．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的變形應用，同時考查了數(shù)形結合的思想與轉化思想的應用，及導數(shù)的幾何意義的應用．