Question

14．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₁=16，某同學(xué)經(jīng)過計(jì)算得到S₂=32，S₃=76，S₄=130，檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中恰好一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則算錯(cuò)的這個(gè)數(shù)是S₂，該數(shù)列的公比是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得：a₁=16，a₁+a₂=a₁（1+q）=32，a₁+a₂+a₃=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=76，a₁+a₂+a₃+a₄=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+{q}^{3}）$=130，不妨假設(shè)第一個(gè)與第二個(gè)等式成立，解得a₁=16，q=1，經(jīng)過驗(yàn)證第四個(gè)與第三個(gè)等式都不成立，因此第一個(gè)與第二個(gè)等式必定有一個(gè)不成立．假設(shè)第一個(gè)與第三個(gè)等式成立，解得a₁，q．驗(yàn)證即可得出．

解答 解：由已知可得：a₁=16，a₁+a₂=a₁（1+q）=32，a₁+a₂+a₃=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=76，a₁+a₂+a₃+a₄=${a}_{1}（1+q+{q}^{2}+{q}^{3}）$=130，
不妨假設(shè)第一個(gè)與第二個(gè)等式成立，解得a₁=16，q=1，經(jīng)過驗(yàn)證第四個(gè)與第三個(gè)等式都不成立，因此第一個(gè)與第二個(gè)等式必定有一個(gè)不成立．
假設(shè)第一個(gè)與第三個(gè)等式成立，解得a₁=16，q=$\frac{3}{2}$或-$\frac{5}{2}$．經(jīng)過驗(yàn)證q=$\frac{3}{2}$時(shí)，第四個(gè)等式成立，因此可得：算錯(cuò)的這個(gè)數(shù)是S₂，該數(shù)列的公比是 $\frac{3}{2}$．
故答案分別為：32（S₂），$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．