Question

3．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，2S_n=a_na_n+1，則S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，∴a₂=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n=a_na_n+1，2S_n-1=a_n-1a_n，兩式相減得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴{a_2k-1}，{a_2k}都是公差為2的等差數(shù)列，又a₁=1，a₂=2，
∴{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
故答案為：$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．