Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若a=-1，問：當(dāng)x＞1時，f（x）＜

2

3

x³是否恒成立，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點的坐標(biāo)，即可求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：f（x）的定義域為（0，+∞），…（1分）
由題意得f′(x)=x-

a

x

(x＞0)…（2分）
（1）f'（1）=1-a，f(1)=

1

2

，
∴過點（1，f（1））處的切線方程為(1-a)x-y+a-

1

2

=0…（4分）
（2）當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．      …（5分）
當(dāng)a＞0時，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

∴當(dāng)0＜x＜

a

時，f′(x)＜0；    當(dāng)x＞

a

時，f′(x)＞0…（8分）
∴當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(

a

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

a

)．…（9分）
（3）a=-1時，設(shè)g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx(x＞1)，則g′(x)=2x2-x-

1

x

…（10分）
∵當(dāng)x＞1時，g'（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．       …（12分）
∴g(x)＞g(1)=

1

6

＞0
即

2

3

x3-

1

2

x2-lnx＞0，…（13分）
∴

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3
故當(dāng)x＞1時，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3恒成立，即f(x)＜

2

3

x3恒成立    …（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．