Question

13．如圖1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE=4，如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連續(xù)AB，
（1）求證：DE⊥平面BCD
（2）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析 解：（1）在圖1中可求CD=2$\sqrt{3}$，由CE=4，∠DCE=30°，可得DE=2，由勾股定理可證DE⊥DC，在圖2中，又平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，DE?平面ACD，即可證明DE⊥平面BCD．
（2）在圖2中，作BH⊥CD于H，可證BH⊥平面ACD，在圖1中，可求BH=$\frac{3}{2}$，由V_A-BDE=V_B-ADE=${\frac{1}{3}S}_{△ADE}•BH$，即可得解．

解答 解：（1）在圖1中，∵AC=6，BC=3，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°．
因為CD為∠ACB的平分線，所以∠BCD=∠ACD=30°，∴CD=2$\sqrt{3}$．…（2分）
∵CE=4，∠DCE=30°，∴DE=2
則CD²+DE²=EC²，所以∠CDE=90°，DE⊥DC．…（4分）
在圖2中，又因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，DE?平面ACD，
所以DE⊥平面BCD．…（6分）
（2）在圖2中，作BH⊥CD于H，因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，
BH?平面BCD，所以BH⊥平面ACD．…（8分）
在圖1中，由條件得BH=$\frac{3}{2}$．  …（9分）
所以三棱錐A-BDE的體積
V_A-BDE=V_B-ADE=${\frac{1}{3}S}_{△ADE}•BH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2sin120°×\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，棱錐的體積的求法，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．