Question

5．設(shè)F₁、F₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的兩個(gè)焦點(diǎn)，P點(diǎn)在橢圓上，若△PF₁F₂是直角三角形，則△PF₁F₂的面積為6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 若PF₁⊥x軸，或PF₂⊥x軸時(shí)，把x=±2$\sqrt{3}$代入橢圓方程，解得y即可得到三角形的高，即可得到△PF₁F₂的面積．若P為直角頂點(diǎn)，在Rt△POF₁中，可得∠F₁PF₂=60°，故不可能有PF₁⊥PF₂．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得：a²=16，b²=4，∴c²=a²-b²=12．
①若PF₁⊥x軸，或PF₂⊥x軸時(shí)，把x=±2$\sqrt{3}$代入橢圓方程得 $\frac{12}{16}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得y=±1，∴h=1，
∴△PF₁F₂的面積=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|×h=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×3=6$\sqrt{3}$．
②若P為橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)（0，2），
在Rt△POF₁中，tan∠OPF₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜1，∴∠OPF₁＜45°，∴∠F₁PF₂＜90°，
故不可能有PF₁⊥PF₂
故答案為：6$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握分類討論思想方法、三角形面積的計(jì)算公式、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．