Question

4．Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在給定的拋物線y²=2px（p＞0）上，且斜邊AB∥y軸，CD是斜邊上的高，D為垂足，則|CD|=2p．

Answer 1

分析 結(jié)合拋物線的方程與性質(zhì)設(shè)出A，B，C的坐標(biāo)，即可表達(dá)出斜邊上的高|CD|，再由直角三角形的性質(zhì)得到斜邊上中線的長(zhǎng)度，然后利用兩點(diǎn)之間的距離公式表達(dá)出中線的長(zhǎng)度，即可得到一個(gè)等式，進(jìn)而求出斜邊上的高得到答案．

解答 解：由題意，斜邊平行y軸，即垂直對(duì)稱軸x軸，
可設(shè)C的坐標(biāo)為（$\frac{{c}^{2}}{2p}$，c），B的坐標(biāo)為（$\frac{^{2}}{2p}$，b），則A的坐標(biāo)為（$\frac{^{2}}{2p}$，-b）；
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{{c}^{2}}{2p}$-$\frac{^{2}}{2p}$，c-b），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{^{2}}{2p}$-$\frac{{c}^{2}}{2p}$，-b-c）
又由Rt△ABC的斜邊為AB，則有AC⊥CB，
即$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CB}$=0，
變形可得|b²-c²|=4p²，
而斜邊上的高即C到AB的距離為|$\frac{^{2}}{2p}$-$\frac{{c}^{2}}{2p}$|=$\frac{4{P}^{2}}{2P}$=2p．
故答案為：2p．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．