7.己知向量$\overrightarrow{a}$=(cosx,2sinx),$\overrightarrow$=(2cosx,$\sqrt{3}$cosx),f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$.
(1)用五點(diǎn)法作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期的圖象;
(2)寫出函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心.

分析 (1)利用向量數(shù)量積的公式求出函數(shù)f(x)的解析式,利用列表描點(diǎn)即可用五點(diǎn)法作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.
(2)根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow{a}$=(cosx,2sinx),$\overrightarrow$=(2cosx,$\sqrt{3}$cosx),
∴f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2cos2x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2sin(2x+$\frac{π}{6}$).
函數(shù)的周期T=π
列表如下:

 x-$\frac{π}{12}$ $\frac{π}{6}$ $\frac{5π}{12}$$\frac{2π}{3}$$\frac{11π}{12}$
 2x+$\frac{π}{6}$ 0$\frac{π}{2}$ π$\frac{3π}{2}$ 2π
2sin(2x+$\frac{π}{6}$)+1131-11
作圖如下:

(2)由$2kπ-\frac{π}{2}<2x+\frac{π}{6}<2kπ+\frac{π}{2}$,k∈Z
可得$kπ-\frac{π}{3}<x<kπ+\frac{π}{6}$,k∈Z.
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間:$[kπ-\frac{π}{3},kπ+\frac{π}{6}]$,k∈Z.
由2x+$\frac{π}{6}=kπ$.可得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$,k∈Z.
函數(shù)的對(duì)稱中心為($\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$,1),k∈Z.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,三角函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱中心的求解,利用向量數(shù)量積的公式求出函數(shù)f(x)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.

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