Question

已知函數(shù)：f（x）=（a∈R且x≠a）．
（1）證明：f（x）+f（2a-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇a+，a+1]時(shí)，求證：f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]；
（3）若a＞，函數(shù)g（x）=x²+|（x-a） f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于f（x）=-1，于是可得f（x）+f（2a-x）+2=0，與x取值無關(guān)得證；
（2）由定義域?yàn)閇a+12，a+1]，得，再由f（x）=-1即可求解．
（3）根據(jù)題意，可得g（x）=x²+|x+1-a|，（x≠a），進(jìn)而分①x≥a-1且x≠a與②x≤a-1兩種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出每種情況下f（x）的最小值，綜合可得答案．
解答：（1）證明：∵f（x）==-1，
∴f（2a-x）=-1=--1，
∴f（x）+f（2a-x）+2=+（-）-2+2=0，與x取值無關(guān)．
∴f（x）+f（2a-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；
（2）證明：∵f（x）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231215605822527/SYS201311012312156058225018_DA/9.png">，
∴-1-a≤-x≤-a-，-1≤a-x≤-，-2≤≤-1，
又f（x）=-1，
∴-3≤-1≤-2，即f（x）的值域?yàn)閇-3，-2]．
（3）解：函數(shù)g（x）=x²+|x+1-a|，（x≠a），
①當(dāng)x≥a-1且x≠a時(shí)，g（x）=x²+x+1-a=（x+）²+-a，
當(dāng)a＞時(shí)，a-1＞-，函數(shù)在[a-1，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
②當(dāng)x≤a-1時(shí)，g（x）=x²-x-1+a=（x-）²+a-，
如果a-1＞即a＞時(shí)，g（x）_min=g（）=a-，
如果a-1≤即a≤時(shí)，g（x）在（-∞，a-1）上為減函數(shù)，g（x）_min=g（a-1）=（a-1）²，
當(dāng)a＞時(shí)，（a-1）²-（a-）=（a-）²＞0，
綜合可得，當(dāng)＜a≤時(shí)，g（x）的最小值是（a-1）²；
當(dāng)a＞時(shí)，g（x）的最小值是a-．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值的求法及其意義，（2）關(guān)鍵在于對f（x）的化簡，（3）的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論求g（x）的最值．