Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³（x∈R），若0≤θ＜

π

2

時，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由給出的冪函數(shù)為奇函數(shù)，且為實數(shù)集上的增函數(shù)，把不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0移項變形，借助于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為msinθ-m＞-1恒成立，分離參數(shù)m后，由角θ的范圍求得

1

1-sinθ

的最小值，則m的取值范圍可求．

解答： 解：∵f（x）=x³（x∈R）為遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，
f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立等價于f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
即msinθ＞m-1恒成立，也就是msinθ-m＞-1，m（sinθ-1）＞-1恒成立，
∵0≤θ＜

π

2

，∴-1≤sinθ-1＜0，0＜1-sinθ≤1．
∴m＜

1

1-sinθ

，
∵0＜1-sinθ≤1，∴

1

1-sinθ

的最小值為1，∴m＜0．
∴使f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立的實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，借助于已知函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性轉(zhuǎn)化，考查了分離變量法，訓練了三角函數(shù)最值的求法，是中檔題．