Question

設直線l：x=ty+

p

2

與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同兩點A，B點，D為拋物線準線上一點，當△ABD為正三角形時，求D點坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得y²-2pty-p²=0，求出M，D的坐標，利用|DM|=

3

2

|AB|，求出點D的坐標．

解答： 解：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），D（-

p

2

，m），則
直線l：x=ty+

p

2

與拋物線C：y²=2px聯(lián)立可得y²-2pty-p²=0．
則y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-p²，
從而x₁+x₂=2pt²+p，
所以線段AB的中點為M（pt²+

p

2

，pt），
由DM⊥AB得

pt-m

pt2+p

=-t，解得m=pt³+2pt，
從而D（-

p

2

，pt³+2pt），
|DM|=p（t²+1）

t2+1

，|AB|=|AF|+|BF|=2p（t²+1）
由|DM|=

3

2

|AB|得到p（t²+1）

t2+1

=

3

2

×2p（t²+1），
解得t=±

2

，
此時，點D（-

p

2

，±4

2

p）．

點評：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．