Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c滿足條件；①y=f（x）的圖象過點(diǎn)

1

，

1

，②當(dāng)x=-1時(shí)，y=f（x）取得最小值是0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k²x在

-1

，

1

上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍；
（3）是否存在自然數(shù)m，使得關(guān)于x的不等式f（x-m）≤x在區(qū)間[1，

4

上有解？若存在，求出自然數(shù)m的取值集合，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由條件可列出方程組，解得即可；（2）化簡g（x）的表達(dá)式，求出對(duì)稱軸，考慮函數(shù)為增函數(shù)和減函數(shù)，列出不等式，解得即可；
（3）假設(shè)存在自然數(shù)m，使得關(guān)于x的不等式f（x-m）≤x在區(qū)間[1，

4

上有解，即有

1

4

（x-m+1）²≤x，即|x-m+1|≤2

x

，即有-2

x

-x≤1-m≤2

x

-x在區(qū)間[1，

4

上有解，分別求出兩邊的最小值和最大值即可得到m的范圍，進(jìn)而得到解集．

解答： 解：（1）二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，由①②兩個(gè)條件可得，

a+b+c=1 - b 2a =-1 a-b+c=0

解得，

a= 1 4 b= 1 2 c= 1 4

，則有f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

；
（2）g（x）=f（x）-k²x在

-1

，

1

上是單調(diào)函數(shù)，
即為g（x）=

1

4

x²+（

1

2

-k²）x+

1

4

在

-1

，

1

上是單調(diào)函數(shù)，
對(duì)稱軸x=2k²-1，
若為單調(diào)增，則有2k²-1≤-1，解得，k=0，
若為單調(diào)減，則有2k²-1≥1，解得，k≥1或x≤-1，
則k的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）∪{0}；
（3）假設(shè)存在自然數(shù)m，使得關(guān)于x的不等式f（x-m）≤x在區(qū)間[1，

4

上有解，
即有

1

4

（x-m+1）²≤x，即|x-m+1|≤2

x

，
即有-2

x

-x≤1-m≤2

x

-x在區(qū)間[1，

4

上有解，
y=-2

x

-x=-（

x

+1）²+1在

x

=2即x=4時(shí)，取得最小且為-8，
y=2

x

-x=-（

x

-1）²+1在

x

=1即x=1時(shí)，取得最大且為1，
則有-8≤1-m≤1，解得，0≤m≤9．
故存在，且自然數(shù)m的取值集合是{0，1，2，3，4，…，9}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查函數(shù)的恒成立思想，注意運(yùn)用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．