Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）畫出二面角A-B₁C-C₁的平面角；
（2）求證：面BB₁DD₁⊥面AB₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取B₁C的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，C₁O，由AB₁=AC，B₁C₁=CC₁，得∠AOC₁是二面角A-B₁C-C₁的平面角．
（2）由已知得AC⊥BD，AC⊥BB₁，從而AC⊥平面BB₁DD₁，由此能證明面BB₁DD₁⊥面AB₁C．

解答： （1）解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
取B₁C的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，C₁O，
∵AB₁=AC，B₁C₁=CC₁，
∴AO⊥B₁C，C₁O⊥B₁C，
∴∠AOC₁是二面角A-B₁C-C₁的平面角．
（2）證明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BB₁，
BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面BB₁DD₁，
∵AC?平面AB₁C，
∴面BB₁DD₁⊥面AB₁C．

點(diǎn)評：本題考查二面角的平面角的作法，考查平面與平面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．