Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-4|+|x-3|，
（Ⅰ）求f（x）的最小值m
（Ⅱ）當(dāng)a+2b+3c=m（a，b，c∈R）時(shí)，求a²+b²+c²的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式,絕對(duì)值不等式的解法

專題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）法1：f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，可得函數(shù)f（x）的最小值；法2：寫(xiě)出分段函數(shù)f(x)=

2x-7，x≥4 1，3≤x＜4 7-2x，x＜3

，可得函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+3c）²=1

解答： 解：（Ⅰ）法1：f（x）=|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，
故函數(shù)f（x）的最小值為1．m=1．…（4分）
法2：f(x)=

2x-7，x≥4 1，3≤x＜4 7-2x，x＜3

．------------------（1分）
x≥4時(shí)，f（x）≥1；x＜3時(shí)，f（x）＞1，3≤x＜4時(shí)，f（x）=1，----------------（3分）
故函數(shù)f（x）的最小值為1．m=1．…（4分）
（Ⅱ）由柯西不等式（a²+b²+c²）（1²+2²+3²）≥（a+2b+3c）²=1----------（5分）
故a²+b²+c²≥

1

14

-…（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

14

，b=

1

7

，c=

3

14

時(shí)取等號(hào)…（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查二維形式的柯西不等式，屬于中檔題．