Question

4．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是不共線的兩個非零向量，
（1）若$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$，求證：A，B，C三點共線；
（2）若$\overrightarrow{a}$=（-1，1）$\overrightarrow$=（2，1），t∈R，求|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理即可證明；
（2）利用數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=-$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$=-$\overrightarrow{AB}$，
∴A，B，C三點共線；
（2）解：$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow$=（-1，1）+t（2，1）=（2t-1，t+1），
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=$\sqrt{（2t-1）^{2}+（t+1）^{2}}$=$\sqrt{5（t-\frac{1}{5}）^{2}+\frac{9}{5}}$≥$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．當t=$\frac{1}{5}$時，取到最小值
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了向量共線定理、數(shù)量積運算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．