Question

某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng)．如圖，圓形廣場(chǎng)的圓心為O，半徑為100 m，并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M.A為上半圓弧上一點(diǎn)，過(guò)A作l的垂線，垂足為B.市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S(單位：m²)，∠AON＝θ(單位：弧度)．

(1)將S表示為θ的函數(shù)；

(2)當(dāng)綠化面積S最大時(shí)，試確定點(diǎn)A的位置，并求出最大面積．

 

Answer 1

解：(1)如圖，BM＝AOsin θ＝100sin θ，

AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．

則S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)

＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．

(2)S′＝5 000(2cos²θ＋cos θ－1)

＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．

令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，

此時(shí)θ＝.

當(dāng)θ變化時(shí)，S′，S的變化情況如下表：

所以，當(dāng)θ＝時(shí)，S取得最大值S_max＝3 750m²，此時(shí)AB＝150 m，即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150 m.