Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b，都有f（a+b）=f（a）+f（b），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）若不等式f（mx²-x+1）＜-f（x²-mx）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由條件得f（x₂-x₁）＜0，再由條件可得f（x₂）＜f（x₁），即可得證；
（2）求出f（0）=0，由單調(diào)性原不等式即為）（m+1）x²-（m+1）x+1＞0．討論m+1=0，m+1＞0，且判別式小于0，解出即可．

解答： （1）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，則f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）+f（x₂-x₁）=f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）解：f（0）=2f（0），則f（0）=0．
不等式f（mx²-x+1）＜-f（x²-mx）?f（mx²-x+1）+f（x²-mx）＜f（0）
?f[（m+1）x²-（m+1）x+1]＜f（0）?（m+1）x²-（m+1）x+1＞0．
①當(dāng)m=-1時(shí)，1＞0，顯然成立；
②m≠-1，則m＞-1且△=（m+1）²-4（m+1）＜0，解得-1＜m＜3．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意運(yùn)用定義，考查不等式的恒成立問(wèn)題，注意二次不等式討論二次項(xiàng)系數(shù)，及判別式的符號(hào)，屬于中檔題．