Question

6．經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+y²=25．

Answer 1

分析 求出雙曲線的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，根據(jù)圓面積最小，則圓的直徑是AF，求出圓心和半徑即可得到結(jié)論．

解答 解：若經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1的左焦點(diǎn)F和右頂點(diǎn)A，且面積最小的圓，
則圓的直徑是AF，
則由$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{20}$=1得a²=16，b²=20，
則c²=16+20=36，即a=4，c=6，
則左焦點(diǎn)F（-6，0），右頂點(diǎn)A（4，0），
則中點(diǎn)為圓心為（-1，0），
直徑2R=AF=4-（-6）=10，
則半徑R=5，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+1）²+y²=25，
故答案為：（x+1）²+y²=25．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程的求解，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出a，c以及確定圓的直徑是AF 是解決本題的關(guān)鍵．