Question

7．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線與直線y=3x平行，求a的值；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值與單調(diào)區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）=ax³-3x²的圖象與直線y=-2有三個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（3）討論a=0，a＞0，a＜0，求得單調(diào)區(qū)間和最值，由題意可得不等式，解得即可得到a的范圍．

解答 解：f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2），
（1）函數(shù)f（x）的圖象在x=-1處的切線與直線y=3x平行，
即有f′（-1）=3a+6=3，解得a=-1，此時(shí)，切點(diǎn)為（-1，-2），
切線方程為y=3x+1，它與已知直線平行，符合題意．
故a=-1；
（2）a=1時(shí)，f′（x）=3x（x-2），
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＜0，或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，
所以，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[0，2]，單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）；
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值f（2）=-4，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有極大值f（0）=0；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²，它與y=-2沒有三個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）知，
f（x）在（-∞，0）和（$\frac{2}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞減，
又f（0）=0，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$，所以-$\frac{4}{{a}^{2}}$＜-2，即-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$，
又因?yàn)閍＞0，所以0＜a＜$\sqrt{2}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=3x（ax-2）知，
f（x）在（-∞，$\frac{2}{a}$）和（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，$\frac{2}{a}$）上單調(diào)遞增，
又f（0）=0，f（$\frac{2}{a}$）=-$\frac{4}{{a}^{2}}$，所以-$\frac{4}{{a}^{2}}$＜-2，即-$\sqrt{2}$＜a＜$\sqrt{2}$，
又因?yàn)閍＜0，所以-$\sqrt{2}$＜a＜0；
綜上所述，a的取值范圍是（-$\sqrt{2}$，0）∪（0，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，主要考查極值、最值的求法，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．