Question

6．已知單位向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$，若$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，且|$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$|+$\overrightarrow{c}$$-2\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，則|$\overrightarrow{c}$$+2\overrightarrow{a}$|的取值范圍是[1，2]．

Answer 1

分析 由題意將所用的向量放到坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示，借助于兩點(diǎn)之間的距離公式以及幾何意義，即可得到最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=1$，
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為60°．
設(shè)$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，A（1，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（x，y）．
∵|$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$|+$\overrightarrow{c}$$-2\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴C點(diǎn)到A（1，0）與到點(diǎn)D（1，$\sqrt{3}$）的距離之和為$\sqrt{3}$，
∵|AD|=$\sqrt{3}$，
∴C在線段AD上．
而|$\overrightarrow{c}$$+2\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，表示C（x，y）到點(diǎn)E（2，0）的距離．
∴當(dāng)C位于點(diǎn)A時，|CE|取得最小值1，當(dāng)C位于D時，|CE|取得最大值2．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)之間的距離公式，關(guān)鍵是利用幾何意義和坐標(biāo)法解決．