Question

15．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosC+csinA-b=0．
（I）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=3，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)正弦定理以及兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求角A的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（I）∵acosC+csinA-b=0，
∴由正弦定理得sinAcosC+sinCsinA=sinB，
即sinAcosC+sinCsinA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
即sinCsinA=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
則A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{4}$，a=3；
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴9=b²+c²-2bccosA≥2bc-$\sqrt{2}$bc=（2-$\sqrt{2}$）bc，
∴bc≤$\frac{9}{2-\sqrt{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)．
∴∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2-\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9（1+\sqrt{2}）}{4}$．
∴△ABC的面積的最大值是$\frac{9（1+\sqrt{2}）}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．