Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1，則：
（1）求過點P（

1

2

，

1

2

）且被P平分的弦所在的直線方程；
（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；
（3）過A（2，1）引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；
（4）橢圓上有兩點P、Q，O為原點，且有直線OP、OQ斜率滿足k_OP•k_OQ=-

1

2

，求線段PQ中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出直線被橢圓所截兩個端點A，B的坐標，直接利用點差法求得直線斜率，則答案可求；
（2）設出斜率為2的弦的中點的坐標及弦的兩個端點坐標，借助于點差法列式得答案；
（3）設割線被橢圓所截的兩個端點的坐標及弦中點的坐標，利用點差法列式得弦的中點的軌跡方程；
（4）設p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），然后結合點差法及直線的斜率列式，整體化簡得答案．

解答： 解：（1）設直線被橢圓所截兩個端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，作差并整理得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

=-

1

2

，
即直線的斜率為-

1

2

，
∴過點P（

1

2

，

1

2

）且被P平分的弦所在的直線方程為y-

1

2

=-

1

2

(x-

1

2

)，即2x+4y-3=0；
（2）設斜率為2的弦的中點為（x₀，y₀），兩個端點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，作差并整理得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

，
即-

2x0

2×2y0

=2，x₀+4y₀=0（-

2

＜x0＜

2

），
∴斜率為2的平行弦的中點軌跡方程為x+4y=0(-

2

＜x＜

2

)；
（3）設割線被橢圓所截的兩個端點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，作差并整理得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

，
設弦中點為M（x₀，y₀），則

y0-1

x0-2

=-

2x0

4y0

，整理得：x02-2x0+2y02-2y0=0，
∴截得的弦的中點的軌跡方程為x²-2x+2y²-2y=0；
（4）設p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
則

x12

2

+y12=1  ①，

x22

2

+y22=1  ②，
2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂  ③，
由k_OP•k_OQ=-

1

2

，得

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0  ④，
聯(lián)立①②得：（x12+x22）+2（y12+y22）=4，
(x1+x2)2-2x1x2+2(y1+y2)2-4y1y2=4，
即(x1+x2)2+2(y1+y2)2-2(x1x2+2y1y2)=4  ⑤，
把③④代入⑤得：（2x）²+2（2y）²-2×0=4，
即4x²+8y²=4，
x²+2y²=1，
∴線段PQ中點M的軌跡方程為x²+2y²=1．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，著重訓練了點差法，體現(xiàn)了設而不求的解題思想方法，是中檔題．