【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為0．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，，是數(shù)列的前3項(xiàng)，且．

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t；

（3）構(gòu)造數(shù)列，，，，，，，，，…，，，，…，，…．若該數(shù)列前n項(xiàng)和，求n的值．

【答案】（1），；（2）或；（3）41.

【解析】

（1）設(shè)的公差，由，，是數(shù)列的前3項(xiàng)，可得即，又即，解得，，即可得出通項(xiàng)公式；

（2），可得，根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，可得，據(jù)此化簡(jiǎn)求解可得值；

（3）設(shè)從到各項(xiàng)的和為，

則，進(jìn)而可得，由，得，進(jìn)而可得該數(shù)列前36項(xiàng)的和，令，解方程可得的值，進(jìn)而得到的值.

（1）設(shè)的公差，，，是數(shù)列的前3項(xiàng)，且，

，即，，

解得，，

，

，，公比，

；

（2），

，

數(shù)列為等差數(shù)列，且，

該數(shù)列的前三項(xiàng)滿足式子：，即，

解得或，經(jīng)過驗(yàn)證滿足題意；

（3）由（1）可得：，數(shù)列的前n項(xiàng)和，

數(shù)列的前n項(xiàng)和，

設(shè)從到各項(xiàng)的和為，

，

，

，

，，

取，可得該數(shù)列前項(xiàng)的和為，

令，解得，

因此，

即n的值為41.

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