Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，，為常數(shù)．

（1）若，，試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，證明：，并求的最小值（用，的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

試題分析：

(1)函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)可得．據(jù)此分類討論：

若，，在上單調(diào)遞增；

若，，在上單調(diào)遞減；

若，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

若，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對任意實數(shù)均成立，

取實數(shù)，，有，據(jù)此討論可得．

證明問題來說明c的最小值為：

構(gòu)造函數(shù)，，可證明，則恒成立，據(jù)此可得成立．

試題解析：

（1）解：依題意得的定義域為，當(dāng)時，．

若，，則，從而在上單調(diào)遞增；

若，，則，從而在上單調(diào)遞減；

若，，令，得，列表如下：

		極小值

若，，令得，列表如下：

		極大值

（2）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對任意實數(shù)均成立，

取實數(shù)，，則兩式相加得：，

令，則，從而．

又由，當(dāng)時，，若，則不恒成立，又，從而，從而．

下證．

記，，，由于，

在點處的切線方程為：．

接下來，我們證明，

構(gòu)造函數(shù)，．

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

從而，故成立．

考慮到直線與直線斜率相等，即它們平行，

又由于恒成立，從而恒成立，

即，即．