Question

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）滿足f（x）=a^xg（x），且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，若有窮數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^*）的前n項(xiàng)和等于$\frac{31}{32}$，則n等于（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）、g（x）滿足f（x）=a^xg（x），F(xiàn)（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x．由于f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可得F′（x）＜0，于是函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，0＜a＜1．利用$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，解得a．可得$\frac{f（n）}{g（n）}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）、g（x）滿足f（x）=a^xg（x），∴F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴F′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）g（x）-f（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
∴函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞減，∴0＜a＜1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，
∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{f（n）}{g（n）}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴有窮數(shù)列{$\frac{f（n）}{g（n）}$}（n∈N^*）的前n項(xiàng)和=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{31}{32}$，
解得n=5．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．