Question

在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數f（x）=lnx（x＞1）的圖象上的動點，該圖象在點p處的切線l交x軸于點M．過點P作l的垂線交x軸于點N，設線段MN的中點的橫坐標為t，則t的最大值是（　�。�

• A、

  1

  e2

• B、

  e

  2

  +

  1

  2e

• C、

  3

  4

  e

  +

  1

  4 e

• D、1

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：由題意設點P的坐標為（m，lnm）；從而寫出直線方程，從而得到M（m-mlnm，0），N（m+

lnm

m

，0）；從而求得t=

1

2

（2m+

lnm

m

-mlnm）（m＞1）；再由導數求最值即可．

解答： 解：設點P的坐標為（m，lnm）；
f′（m）=

1

m

；
則切線l的方程為y-lnm=

1

m

（x-m）；
l的垂線的方程為y-lnm=-m（x-m）；
令y=0解得，
M（m-mlnm，0），N（m+

lnm

m

，0）；
故t=

1

2

（2m+

lnm

m

-mlnm）（m＞1）；
t′=

1

2

(m2+1)(1-lnm)

m2

；
故t=

1

2

（2m+

lnm

m

-mlnm）先增后減，
故最大值為

1

2

（2e+

1

e

-e）=

e

2

+

1

2e

；
故選B．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義，同時考查了直線的方程，屬于難題．