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已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,g(x)=12x-4,若f(-1)=0,且f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=g(x).
(1)求實數a,b,c的值;
(2)判斷函數h(x)=f(x)-g(x)的單調區(qū)間,并求h(x)在[-4,2]上的最大值.
考點:利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性
專題:計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用
分析:(1)求出函數f(x)的導數,由f(-1)=0,f(1)=g(1)=8,f′(1)=12,列出a,b,c的方程,解得即可;
(2)求出h(x)的解析式,并求導數,求出單調區(qū)間和極值,并求端點的函數值,比較即可得到最大值.
解答: 解:(1)f(-1)=0,則有-1+a-b+c=0 ①
又f′(x)=3x2+2ax+b,
又f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=g(x),
則f(1)=g(1)=8,f′(1)=12,
即a+b+c=7②,2a+b=9③
由①②③解得,a=b=3,c=1;
(2)h(x)=f(x)-g(x)=x3+3x2-9x+5
h′(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1)
令h′(x)=0,得x=-3或1.
x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)遞增極大遞減極小遞增
故h(x)的單調增區(qū)間為(-∞,-3),(1,+∞),單調減區(qū)間為(-3,1),
則有h(x)的極大值h(-3)=32,極小值h(2)=7,而h(-4)=25,
則h(x)在[-4,2]上的最大值為32.
點評:本題考查導數的運用:求切線方程和求單調區(qū)間、極值和最值,考查運算能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

下列說法錯誤的是( �。�
A、命題p“?x∈R,ax>0(a>0且a≠1),則¬p:?x0∈R,ax0≤0
B、如果命題“¬p”與命題“p或q”都是真命題,那么命題q一定是真命題
C、特稱命題“?x∈R,使-2x2+x-4=0”是假命題
D、命題“若a,b都是偶數,則a+b是偶數”的否命題是“若a,b都不是偶數,則a+b不是偶數”

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科目:高中數學 來源: 題型:

山區(qū)一林場2013年底的木材存量為30萬立方米,森林以每年20%的增長率生長.從今年起每年年底要砍伐1萬立方米的木材,設從今年起的第n年底的木材存量為an萬立方米.
(Ⅰ)試寫出an+1與an的關系式,并證明數列{an-5}是等比數列;
(Ⅱ)問大約經過多少年,林場的木材總存量達到125萬立方米?(參考數據:lg2=0.30,lg3=0.48)

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橢圓25x2+9y2=225的長軸長為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

設向量
a
=(a1,a2)
,
b
=(b1,b2)
,定義一種向量積
a
?
b
=(a1b1,a2b2)
,已知
m
=(2,
1
2
)
,
n
=(
π
3
,0)
,點P(x,y)在y=sinx的圖象上運動.滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
(其中O為坐標原點),則當x∈[0,2π]時,函數y=f(x)的最大值是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

在數列{an}中,a1=1,an+2+(-1)nan=1.記sn是數列{an}的前n項和,則s100=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=asin2x+acos2x+b.
(Ⅰ)求證:函數f(x)的圖象關于直線x=
π
8
對稱
(Ⅱ)若函數f(x)的圖象過點A(0,1),且當x∈[0,
π
4
]時,f(x)≤b2恒成立,試確定實數b的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

將函數f(x)=sin2x(x∈R)的圖象向右平移
π
4
個單位,則所得到的圖象對應的函數在下列區(qū)間中單調遞增的是( �。�
A、(
4
,π)
B、(
π
2
,
4
C、(0,
π
2
D、(-
π
4
,0)

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,已知P是函數f(x)=lnx(x>1)的圖象上的動點,該圖象在點p處的切線l交x軸于點M.過點P作l的垂線交x軸于點N,設線段MN的中點的橫坐標為t,則t的最大值是(  )
A、
1
e2
B、
e
2
+
1
2e
C、
3
4
e
+
1
4
e
D、1

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